引子

数学家们在解决了导数这一迷之问题后，造就了迷之脑洞，想出了一些迷之问题
比如这个:求函数$y=x^2$的图像和$x$轴以及直线$x=1$围成的面积

一般化推广

在解决了上面的问题后，数学家们本着永无止境的心，又把1换成了$x_0$,让我们一起康康有什么变化：
还是一样地把0~$x_0$分成$n$份，仿照上面画出$n$个矩形：
$$ \begin{aligned} S &= {x_0\over n}\cdot \left(x_0\over n\right)^2 + {x_0\over n}\cdot \left(2x_0\over n\right)^2+{x_0\over n}\cdot \left(3x_0\over n\right)^2+…+{x_0\over n}\cdot \left(nx_0\over n\right)^2 \\
&= {x_0\over n}\cdot \left( \left( x_0\over n\right)^2+\left( 2x_0\over n\right)^2+\left( 3x_0\over n\right)^2+…+\left( nx_0\over n\right)^2\right) \\
&= {x_0^3\over n^3}\cdot \left(1^2+2^2+3^2+…+n^2\right)\\
&= {x_0^3\over n^3}\cdot {n(n+1)(2n+1)\over 6}\\
&= {x_0^3\over 3}+{x_0^3\over 3n}+{x_0^3\over 6n^2} \end{aligned} $$ 接着，让$n\rightarrow +\infty$，那么: $$S={1\over 3}x_0^3$$

回顾上面的过程，本着偷懒的精神，数学家们开始简化算式：
老是$1\over n$的太烦，还要说明$n\rightarrow +\infty$,不如直接用导数里现成的$dx$代替$1\over n$多省事ψ(｀∇´)ψ
省略号太烦，还要列举前几项，$dx$又无限小，不能用求和符号，于是他们把求和符号拉长，创造了个新玩意：
$$\sum_{i=1}^n {1\over n}\cdot{i\over n}^2\rightarrow \int_0^1 x^2dx$$ 看到这个，小问号的朋友又多了起来：woc这都是什么鬼东西(⊙_⊙)？
$dx$就是$x$的一个微小变化量，我们以这个玩意作为矩形的底，画出$\infty$个矩形
那矩形的高怎么办呢？嘿嘿嘿，反正矩形的端点(反正底无限小，左右无所谓)的横坐标是$x$，我们直接拿$x^2$当高岂不是美滋滋（￣︶￣）↗
于是乎，一个矩形的面积就是底乘高，即
$$x^2 dx$$ 把0~1的所有矩形的面积加起来，就表示成： $$\int_0^1x^2dx={1\over 3}$$ 数学家们管这叫定积分 ,即有范围的积分，算出来是一个数，表示这个范围里函数图像围成的面积
有 定 就一定有不定，即没有范围的积分，算出来是一个函数，表示从0开始函数图像围成的面积随$x$变化的关系:
$$\int x^2dx={1\over 3}x^3$$

积分的性质

不知道你发现没有 反正我是没有 ： $$\int x^2dx={1\over 3}x^3$$ $$({1\over 3}x^3)'=x^2$$ 不定积分和导数一定有什么不可告人的秘密 ( •̀ ω •́ )✧ 假设我们有一个函数$f(x)%$： $$f'(x)={df(x)\over dx }\Rightarrow f'(x)dx=df(x)$$ 那么： $$\int f'(x)dx=\int df(x)=f(x)$$ 至于你问为什么： $$\int df(x)=f(x)$$ 因为$df(x)=f(x+dx)-f(x)$,学过数列的小盆友一看就知道，这不就是一手裂项相消嘛~
至此，我们发现了，求导和不定积分互为 逆运算 ！！！
这样一来爽啦，什么积分不会搞，找找什么东西求导等于它就成啦！这样，数学家们搞出了一堆积分公式： $$\int kdx=kx+C$$ $$\int x^n={1\over n+1}x^{n+1}+C$$ $$\int {1\over x}=\ln x+C$$ $$\int \sin x dx=-\cos x +C$$ $$\int \cos x dx=\sin x +C$$ $$…$$ 咦，这一堆$C$是干什么吃的？ 在积分式中： $$\int f(x)dx=F(x)+C$$ 我们称$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，就是$f(x)$求导之前原来的那个函数
一个函数的原函数有无数个，因为求导后函数的常数部分直接就莫得了，所以积分时要把它加回去
不信？看好喽： $$2=(2x)'=(2x+1)'=(2x+2)'=…$$ 这真是要多少有多少 `(>﹏<)′>)

秉承着偷懒至上的伟大精神，数学家们把这一堆常数合并成一个$C$，称其为“积分常数”
真可谓 “大道至简，务实高效” 啊 没错，这就是我们前班主任的格言
此外，积分和导数一样，有如下性质： $$\int [f(x)+g(x)]=\int f(x)+\int g(x)$$ $$\int [af(x)]=a\int f(x)$$ 毕竟互为逆运算嘛，都是一家人¯\ (°_o)/¯

积分的运算

搞了这么久，你一定很想知道定积分怎么算吧？
来，搬张板凳，继续吃瓜 ——牛顿——莱布尼茨公式 “

如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且存在原函数$F(x)$ ,
则： $$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$$

咦为什么没加$C$？因为$F(a)$和$F(b)$都加了$C$，一减就莫得了(｡･∀･)ﾉﾞ
至于你问$F(x)|_a^b$是个什么意思，那就是$F(b)-F(a)$，目的就是少写几个字 (＃°Д°)
证明嘛。。。围观大佬就好，切记，保护好头发ヾ(•ω•`)o
看到这里，你以为你就会算积分了吗？no no no，比如这个：(大佬请绕路) $$\int {1\over x+1}dx = ?$$ 这就需要 换元积分法 了
令$t=x+1$,则： $$\int {1\over x+1}dx=\int {1\over t}dx$$ 又有： $$t'=(x+1)'=x'\Rightarrow dt=dx$$ $$原式=\int {1\over t}dt=\ln t +C=\ln(x+1)+C$$ 是不是很秀？
尽管还有一些东西暂时积不出来，就先到这儿吧 因为我还不会，到时候再补，咬我呀~

积分的应用

有了积分，我们就可以为所欲为地算一些奇奇怪怪的东西了
比如算球的体积
众所周知，球是由一个圆旋转得来的，我们取出那个圆，其半径为$r$，放到坐标系里，其方程就是： $$x^2+y^2=r^2$$ 因为一个半圆沿直径旋转就可以搞出一个球了，这里偷个懒，把它变成半圆： $$y=\sqrt{r^2-x^2}$$ 秉承着偷懒的伟大精神，${1\over 4}$圆沿半径旋转一圈是半球，算出这玩意的体积再乘个2就行了