引子

数学的很多分支都是由物理发展来的，微积分也不例外。
据说导数一开始就是在求加速都时搞出来的。
什么？你不知道什么是速度？不如先去学习一下：传送门
具体是怎么搞出来的没人知道 (因为知道的人都挂了) ，但这并不妨碍我们模拟一下当时的情况：
在一个月黑风高的夜晚，牛顿思索着对于位移满足关系式：$s=t^2$的运动在$t=1$的速度 牛顿：我怎么不知道？？？
众所周知，$x-t$图像上某点切线的斜率即为该时刻的速度（什么？你不知道？刚不是叫你去学习了吗？） 令$s\rightarrow y$ , $t\rightarrow x$ , 作出它的图像和$x=1$时的切线：

$$ \begin{cases} y & = x^2 \\
y & = kx+b \
\end{cases} $$ 又有$x=1,y=x^2=1$ $$ \Rightarrow \begin{cases} &k+b=1 \\
&x^2-kx-b=0 \
\end{cases} $$ 二次方程有木有！于是 $$\Delta=k^2-4(k-1)=0 \Rightarrow k=2$$ 由此可以得出，$t=1$时，$v=2$

一般化推广

我们知道函数$y=x^2$在$x=1$的切线斜率是2,能不能让结论更加一般化呢?比如求其在$x=x_0$时的切线斜率?
仿照上例:
设切线方程为： $y=kx+b$ $$ \begin{cases} y & = x_0^2 \\
y & = kx_0+b \end{cases} $$ 咦？求不出来了？？？！ Σ(っ °Д °;)っ
有没有别的方法呢? 显然是有的,不然我就不会写这玩意了……

回顾刚才的过程，会发现切线的定义有问题。如图，这玩意也只有一个交点，但这明显不是我们想要的切线

$$\Delta x\rightarrow dx , \Delta y \rightarrow dy $$
$d$啥 就是啥的微小变化量
还有，每一个$x$都对应着一个$k$，这明摆着$k$是$x$的函数嘛！又考虑到导数没有符号表示，$k$来$k$去的十分不爽，数学家们大笔一挥，在函数的右上角加了一撇，表示这个函数的导函数，即导数关于$x$的函数,如：
$y'\rightarrow y$的导函数 $f'(x)\rightarrow f(x)$的导函数 甚至还可以这么玩：$(sin x)'$ 和 $[f(x)g(x)]'$ 以及 $(f(g(x)))'$
这样一来爽多了：
$$y'={dy\over dx}=2x$$ 换成$f(x)$：
$$f'(x)={df(x)\over dx}=2x$$

导函数的性质

复合函数的导函数

$(f(g(x))'$这二货咋求？
常识告诉我们，最先出现的问题一定是用定义解决的：
$$(f(g(x))'={df(g(x))\over dx}$$ 然后呢？好问题…看我来一手骚操作: $${df(g(x))\over dx}={df(g(x))\over dg(x)}·{dg(x)\over dx}=f'(x)g'(x)$$ 这玩意可以约分，想不到吧，嘿嘿嘿（〃｀ 3′〃）
由此得出:两函数复合，其导函数为两函数的导函数之积

函数之积的导函数

有了上面的经验，还是一手骚操作: $$[f(x)g(x)]'={[f(x)+df(x)][g(x)+dg(x)]-f(x)g(x)\over dx}=f(x){dg(x) \over dx}+g(x){df(x) \over dx}$$ $$=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$$ 咦？$df(x)dg(x)\over dx$哪去了？被我吃了吗？其实是它太小了。只要乘了个带$d$的，就不配拥有人权~ ╰(￣ω￣ｏ)

函数之商的导函数

众所周知，大题的最后一问总是会用到前两问的结论，这个当然也不例外
稍微变个型： $$[{f(x)\over g(x)}]'=[f(x){1\over g(x)}]'$$ 那不就是两函数之积的导函数嘛 ~(￣▽￣)~*
至于这个$1\over g(x)$，不就是一个$u(x)={1\over x}$ 和 $g(x)$ 复合成 $u(g(x))$ 了嘛… (￣﹃￣)
反手就是一顿操作：
$$原式={f'(x)\over g(x)}-{f(x)g'(x)\over [g(x)]^2}={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\over [g(x)]^2}$$

其他性质

$$[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$$ $$[af(x)]'=af'(x)$$ 至于证明嘛，送你一首《西江月·证明》

一些常见函数的导函数

常函数 $C'=0$

这有什么难的，横着一条直线的斜率不是0还能是啥？

一次函数 $(kx)'=k$

一次函数嘛，它的切线就是它自己，导数即斜率，斜率即$k$

幂函数: $f(x)=x^n\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

在这里我们直接上通用方法,需要使用二项式定理:
$$f'(x)={df(x) \over dx}={(x+dx)^n-x^n \over dx}={\tbinom{1}{n}x^{n-1}dx+\tbinom{2}{n}x^{n-2}dx^2+…+dx^n \over dx}$$ $$=\tbinom{1}{n}x^{n-1}+\tbinom{2}{n}x^{n-2}dx+…+dx^{n-1}=nx^{n-1}$$

三角函数:$(sin x)'=cos x$ , $(cos x)'=-sin x$

这个需要用到一点和差化积的姿势 $$(sin x)'={sin(x+dx)-sin x \over dx}={2cos(x+{dx\over 2}) sin {dx \over 2}\over dx}$$ 又有: $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x=x$$ $$\Rightarrow (sin x)'=cos x$$ $cos x$同理，其实是我懒得打了(￣y▽,￣)╭

指数函数: $(a^x)'=a^xlna$

据说数学家们经大量计算发现，这玩意的导函数就是一个常数乘以它自己，而且这个常数还会变！
于是他们怒了，设了一个常数$e$使得$(e^x)'=e^x$ 没错这就是$e$的由来 ¯\_ (ツ)_/¯
于是： $$e^{ln x}=x \Rightarrow (e^{ln x})'=1$$ 由复合函数求导的姿势：
$$ (e^{ln x})'=e^{ln x}(ln x)'$$ $$\Rightarrow (xln x)'=1 \Rightarrow (ln x)'={1\over x}$$ 于是我们就可以把指数给他拉下来了：
$$ln(a^x)=xln(a) \Rightarrow [ln(a^x)]'=[xln(a)]'=lna$$ 又有(复合函数求导)： $$[ln(a^x)]'={1\over a^x}·(a^x)'$$ $$\Rightarrow (a^x)'=a^xlna$$

对数函数:$(log_a{x})'={1\over xlna}$

这里来一手换底公式就变成了函数之商求导，over： $$(log_a{x})'=({lnx\over lna})'={1\over xlna}$$

导数的应用

看了这么久，小问号的朋友一定越来越多了，这有啥用呢？
其实，导数最大的用处就是求函数的单调性和最值，最大值和最小值都能搞定
显然，增函数的导数大于0，减函数的导数小于0，导数的绝对值越大，函数值变化得就越快
为啥？导数是斜率啊~ 换句话说，函数单调递增时其导数大于0，单调递减时导数小于0
那导数等于0时呢？那就是被夹在增区间和减区间的交界处了呗，不是最大值就是最小值( ﹁ ﹁ ) ~→
来，直观感受一下