圆锥曲线的蒙日圆
引子
对于椭圆,我们知道一个很经典的结论:
过一点P能作椭圆两条垂直切线,则P轨迹在一个圆上,称该圆为这个椭圆的蒙日圆
听着是不是特别玄乎,下面让我们证明一下
椭圆的蒙日圆
已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,设$P(x_0,y_0)$,切线$y=k(x-x_0)+y_0$
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
&y=kx-(kx_0-y_0)\\
&b^2x^2+a^2x^2-a^2b^2=0
\end{cases}
\\
&\Rightarrow
(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k(kx_0-y_0)x+a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2=0\\
&\Delta=4a^4k^2(kx_0-y_0)^2-4(a^2k^2+b^2)[a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2]=0\\
&\Rightarrow
a^4k^2(kx_0-y_0)^2-a^2(a^2k^2+b^2)(kx_0-y_0)^2+a^2b^2(a^2k^2+b^2)=0\\
&\Rightarrow
-(kx_0-y_0)^2+a^2k^2+b^2=0\\
&\Rightarrow
(a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k-y_0^2+b^2=0\\
&\therefore k_1k_2=\frac{-y_0^2+b^2}{a^2-x_0^2}=-1\\
&\therefore x_0^2+y_0^2=a^2+b^2\\
&Q.E.D.
\end{aligned}
$$
抛物线的蒙日圆
常言道,抛物线就是一个被无限拉长的椭圆。那抛物线会不会也有“蒙日圆”呢?
不妨假设它有。既然抛物线是无限拉长的椭圆,那它的“蒙日圆”大概率就是一个被无限拉长的圆。无限拉长的圆?那不是一条直线吗?
下面来验证我们的猜想
已知抛物线$y^2=2px,P(x_0,y_0)$,设切线$x-x_0=m(y-y_0)$
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
&y^2=2px\\
&x=my-my_0+x_0
\end{cases}\\
&y^2-2pmy+2p(my_0-x_0)=0\\
&\Delta=4p^2m^2-8p(my_0-x_0)=0\\
&\Rightarrow pm^2-2y_0m+2x_0=0\\
&\therefore m_1m_2=\frac{2x_0}{p}=-1\\
&\therefore x_0=-\frac{x_0}{2}
\end{aligned}
$$
故P的轨迹是抛物线准线,还真是一条直线!
双曲线
既然抛物线都能有,为什么双曲线不能有?
让我们做个更大胆的猜想
如果说抛物线是个拉长的椭圆,那你看这个双曲线。。。。。。
像不像个无限拉长并且绕回来的椭圆?
那它的“蒙日圆”?应该是套在中间的罢?
让我们来验证一下
已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,P(x_0,y_0)$,设切线$y-y_0=k(x-x_0)$
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
&b^2x^2-a^2y^2-a^2b^2=0\\
&y=kx-kx_0+y_0
\end{cases}\\
&\Rightarrow
(b^2-a^2k^2)x^2+2a^2k(kx_0-y_0)x-a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2=0\\
&\Delta=4a^4k^2(kx_0-y_0)^2+4(b^2-a^2k^2)[a^2(kx_0-y_0)^2+a^2b^2]=0\\
&\Rightarrow a^2k^2(kx_0-y_0)^2+(b^2-a^2k^2)[(kx_0-y_0)^2+b^2]=0\\
&\Leftrightarrow
b^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2k^2+b^4=0\\
&\Rightarrow (x_0^2-a^2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2+b^2=0\\
&\therefore k_1k_2=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}=-1\\
&\therefore x_0^2+y_0^2=a^2-b^2
\end{aligned}
$$
这不就夹在左右两支中间嘛!
小结
经过上述讨论,我们发现三种圆锥曲线都有其对应的“蒙日圆”。由此,圆锥曲线的统一性可见一斑!